Question

如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲证SO⊥平面ABC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证SO与平面ABC内两相交直线垂直，而SO⊥BC，SO⊥AO，又AO∩BO=O，满足定理条件；
（2）以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz，求出两半平面的法向量，求出两法向量的夹角即可．

解答：证明：
（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA，连接OA，△ABC为等腰直角三角形，
所以OA=OB=OC=

2

2

SA，且AO⊥BC，
又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，
且SO=

2

2

SA，从而OA²+SO²=SA²．
所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O．
所以SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：
以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，
建立如图的空间直角坐标系O-xyz．
设B（1，0，0），则C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）．SC的中点M(-

1

2

，0，

1

2

)，

MO

=(

1

2

，0，-

1

2

)，

MA

=(

1

2

，1，-

1

2

)，

SC

=(-1，0，-1)．∴

MO

•

SC

=0，

MA

•

SC

=0．
故MO⊥SC，MA⊥SC，＜

MO

，

MA

＞等于二面角A-SC-B的平面角．
cos＜

MO

，

MA

＞=

MO • MA

| MO |•| MA |

=

3

3

，
所以二面角A-SC-B的余弦值为

3

3

．

点评：本小题主要考查直线与平面垂直，以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．