Question

19．函数$y=3\sqrt{2x-1}+4\sqrt{5-2x}$的最大值为10．

Answer 1

分析 先求出x的范围，再根据柯西不等式即可求出答案．

解答 解：由$y=3\sqrt{2x-1}+4\sqrt{5-2x}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{2x-1≥0}\\{5-2x≥0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{5}{2}$，
$y=3\sqrt{2x-1}+4\sqrt{5-2x}$≤$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$•$\sqrt{（\sqrt{2x-1}）^{2}+（\sqrt{5-2x}）^{2}}$=5$\sqrt{2x-1+5-2x}$=10，
当且仅当3$\sqrt{5-2x}$=4$\sqrt{2x-1}$，即x=$\frac{61}{50}$时取等号，
故函数$y=3\sqrt{2x-1}+4\sqrt{5-2x}$的最大值为10，
故答案为：10

点评 本题考查二元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．