Question

14．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，则△ABC的面积为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简求出cosB的值，结合向量数量积以及三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：∵bcosC=3acosB-ccosB，
∴sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
即sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
即sin（B+C）=3sinAcosB，
即sinA=3sinAcosB，
则cosB=$\frac{1}{3}$，sinB=${\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}}^{\;}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，
∴|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cosB=2
即$\frac{1}{3}$ac=2，ac=6，
则△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×6×$$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查三角形面积的计算，利用正弦定理以及向量数量积应用是解决本题的关键．