Question

已知点P是函数y=lnx的图象上一点，在点P处的切线为l₁，l₁交x轴于点M，过点P作l₁的垂线l₂，l₂交x轴于点N，MN的中点为Q，则点Q的横坐标的最大值为

 

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：导数的综合应用

分析：设切点为（a，b），利用导数求出直线PM的方程，继而求出M点的横坐标，再根据直线PM⊥直线PN，求出直线PN的方程，继而求出N点的横坐标，根据中点坐标公式，求出Q点的横坐标，再利用导数求出最值，问题得以解决．

解答： 解：设P点的坐标为（a，b），如图所示，
∵f（x）=lnx，
∴f′（x）=

1

x

，
∴直线PM的斜率k_PM=f′（a）=

1

a

，
∴直线PM的方程为y-b=

1

a

（x-a），
令y=0，解得x_M=a-ab，
∵直线PM⊥直线PN，
∴k_PN=-

1

kPM

=-a，
直线PN的方程为y-b=-a（x-a），
令y=0，解得x_N=a+

b

a

，
∵MN的中点为Q，
∴x_Q=

1

2

（x_M+x_N=）=

1

2

（ a-ab+a+

b

a

），
又b=lna，
∴x_Q=

1

2

（a-alna+a+

lna

a

），
令g（a）=a-alna+a+

lna

a

，
∴g′（a）=1-（lna+1）+1+

1-lna

a2

=（1-lna）（1+

1

a2

），
令g′（a）=0，解的a=e，
当0＜a＜e时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；
当a＞e时，g'（a）＜0，g（a）单调递减，
当a=e时取得极大值，即为最大值，最大值为g（e）=e-e+e+

1

e

=

e2+1

e

，
故点Q的横坐标的最大值为

e2+1

2e

故答案为：

e2+1

2e

点评：本题主要考查了曲线的切线方程和导数与最值得关系，关键是把点的坐标问题转化为求函数的最值问题，培养了学生的转化能力，属于中档题．