Question

已知数列{a_n}满足a₁=a₂=2，a₃=3，a_n+2=

a 2 n+1 + (-1)n

an

（n≥2）
（Ⅰ）求a₄，a₅；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差数列？若存在，求出所有满足条件的λ的值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）设b_n=a_n+2-μa_n+1（n∈N^*），若数列{b_n}是等比数列，求实数μ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，由数列{a_n}的递推公式，依次计算可得答案；
（Ⅱ）假设存在实数λ，使得数列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差数列，由等差数列的性质可得2（a₃-λa₂）=（a₂-λa₁）+（a₄-λa₃），解得λ=1；将λ=1代入可得2（a₅-a₄）≠（a₄-a₃）-（a₃-a₂），产生矛盾，即可得答案；
（Ⅲ）根据题意中b_n=a_n+2-μa_n+1（n∈N^*），表示出b₁，b₂，b₃三项，又由{b_n}是等比数列，可得b₁×b₃=b₂²，即（3-2μ）（8-5μ）=（5-3μ）²，解可得答案．

解答：解：（I）a₄=

a 2 3 +1

a2

=

9+1

2

=5
a₅=

a 2 4 -1

a3

=

25-1

3

=8
（II）假设存在实数λ，使得数列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差数列，
则2（a₃-λa₂）=（a₂-λa₁）+（a₄-λa₃），
解得λ=1
由a₃=3，a₄=5，a₅=8，a₆=13得2（a₅-a₄）≠（a₄-a₃）-（a₃-a₂），
与数列{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差数列矛盾
故不存在实数λ，使数列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差数列
（III）根据题意，可得a₁=a₂=2，a₃=3，a₄=5，a₅=8，
则b₁=a₃-μa₂=3-2μ，b₂=a₄-μa₃=5-3μ，b₃=a₅-μa₄=8-5μ，
若数列{b_n}是等比数列，则b₁×b₃=b₂²，即（3-2μ）（8-5μ）=（5-3μ）²，
解可得μ=

1± 5

2

．

点评：本题考查数列递推公式的运用，在解（Ⅲ）时，可以根据题意，用特例法，直接由b₁，b₂，b₃等比，得到b₁×b₃=b₂²，进一步得到关于μ的方程，解可得答案．