Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的长轴、短轴、焦距分别为A₁A₂、B₁B₂、F₁F₂，且|F₁F₂|²是|A₁A₂|² 与
|B₁B₂|²的等差中项
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）若曲线C₂的方程为（x-t）²+y²=（t²+

3

t）²（0＜t≤

2

2

），过椭圆C₁左顶点的直线l与曲线C₂相切，求直线l被椭圆C₁截得的线段长的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据|F₁F₂|²是|A₁A₂|² 与|B₁B₂|²的等差中项，建立方程，求出几何量，即可求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+

3

），由直线l与曲线C₂相切得

|k(t+ 3 )|

k2+1

=(t+

3

)t，整理得

|k|

k2+1

=t，将直线l的方程代入椭圆方程，消去y整理，求出另一端点坐标，换元，即可求直线l被椭圆C₁截得的线段长的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得|B₁B₂|=2b=2，|A₁A₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
∵|F₁F₂|²是|A₁A₂|² 与|B₁B₂|²的等差中项，
∴2×（2c）²=（2a）²+2²，
解得a²=3，c²=2，
故椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的左顶点坐标为A₁（-

3

，0），设直线l的方程为y=k（x+

3

）
由直线l与曲线C₂相切得

|k(t+ 3 )|

k2+1

=(t+

3

)t，整理得

|k|

k2+1

=t
又∵0＜t≤

2

2

，
∴0＜

|k|

k2+1

≤

2

2

，解得0＜k²≤1
直线l的方程代入椭圆方程，消去y整理得：（3k²+1）x²+6

3

k²x+9k²-3=0，
直线l被椭圆C₁截得的线段一端点为A₁（-

3

，0），
设另一端点为B，解方程可得点B的坐标为(

-3 3 k2+ 3

3k2+1

，

2 3 k

3k2+1

)，
∴|AB|=

2 3 • k2+1

3k2+1

令m=

k2+1

（1＜m≤

2

），则|AB|=

2 3 m

3(m2-1)+1

=

2 3

3m- 2 m

考查函数y=3m-

2

m

的性质知y=3m-

2

m

在区间（1，

2

]上是增函数，
∴m=

2

时，y=3m-

2

m

取最大值2

2

，
从而直线l被椭圆C₁截得的线段长的最小值为

6

2

．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．