Question

已知函数f（x）=log_mx（mm为常数，0＜m＜1），且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列．
（1）若b_n=a_n•f（a_n），当m=

2

2

时，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）设c_n=a_n•lga_n，如果{c_n}中的每一项恒小于它后面的项，求m的取值范围．

Answer 1

（1）由题意得f（a_n）=2+2（n-1）=log_ma_n，可得2n=log_ma_n，…（1分）
∴a_n=m²ⁿ．…（2分）
b_n=a_n•f（a_n）=2n•m²ⁿ．
∵m=

2

2

，∴b_n=a_n•f（a_n）=2n•（

2

2

）²ⁿ=n•（

1

2

）^n-1，…（3分）
∴S_n=1•（

1

2

）⁰+2•（

1

2

）¹+3•（

1

2

）²+…+n•（

1

2

）^n-1，①

1

2

S_n=1•（

1

2

）¹+2•（

1

2

）²+3•（

1

2

）³+…+n•（

1

2

）ⁿ，②…（4分）
①-②，得

1

2

S_n=（

1

2

）⁰+（

1

2

）¹+（

1

2

）²+…+（

1

2

）^n-1-n•（

1

2

）ⁿ=

1- 1 2n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n…（6分）
∴化简得：S_n=-（n+2）（

1

2

）^n-1+4  …（7分）
（2）由（Ⅰ）知，c_n=a_n•lga_n=2n•m²ⁿlgm，要使c_n＜c_n+1对一切n∈N^*成立，
即nlgm＜（n+1）m²lgm对一切n∈N^*成立．…（8分）
∵0＜m＜1，可得lgm＜0
∴原不等式转化为n＞（n+1）m²，对一切n∈N^*成立，
只需m²＜（

n

n+1

）_min即可，…（10分）
∵h（n）=

n

n+1

在正整数范围内是增函数，∴当n=1时，（

n

n+1

）_min=

1

2

．…（12分）
∴m²＜

1

2

，且0＜m＜1，，∴0＜m＜

2

2

．…（13分）
综上所述，存在实数m∈（0，

2

2

）满足条件．…（14分）