Question

已知向量

OA

=(sinθ，-1)，

OB

=(x，cosθ)
（1）若θ=

π

4

，x∈[1，3]，求函数f(x)=

OA

•

OB

的值域；
（2）若x=

3

，θ∈(

π

2

，π)，求函数g(θ)=

OA

•

OB

的最大值，并求此时的|

AB

|．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积的运算求得函数的解析式，把θ的值代入，进而利用x的范围确定y的范围．
（2）利用向量的数量积的运算求得函数的解析式，把x的值代入，利用两角和公式化简整理利用θ的范围和正弦函数的性质求得函数的最大值，利用向量的基本知识求得|

AB

|．

解答：解：（1）f(x)=

OA

•

OB

=sinθx-cosθ=

2

2

x-

2

2

∵x∈[1，3]，
∴

2

2

x-

2

2

∈[0，

2

]，即函数的值域为[0，

2

]
（2）g(θ)=

OA

•

OB

═sinθx-cosθ=

3

sinθ-cosθ=2sin（θ-

π

6

）
∵θ∈(

π

2

，π)
∴

π

3

≤θ-

π

6

≤

5π

6

∴[g（θ）]_max=2，此时|

AB

|=1

点评：本题主要考查了三角函数的最值，向量的数量积的运算．解题的关键是求得函数的解析式，利用函数的单调性求得答案．