Question

3．已知a≥1，曲线f（x）=ax³-$\frac{1}{ax}$在点（1，f（1））处的切线的斜率为k，则k的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由对勾函数的单调性，可得斜率k的最小值．

解答 解：f（x）=ax³-$\frac{1}{ax}$的导数为f′（x）=3ax²+$\frac{1}{a{x}^{2}}$，
可得在点（1，f（1））处的切线的斜率k=3a+$\frac{1}{a}$，
k=3a+$\frac{1}{a}$的导数为3-$\frac{1}{{a}^{2}}$，
由a≥1，可得3-$\frac{1}{{a}^{2}}$＞0，则函数k在[1，+∞）递增，
可得k的最小值为3+1=4．
故选：D．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查对勾函数的单调性的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．