Question

18．已知正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱AA₁=2，则异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 以A为原点，在平面ABC内，过点A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值．

解答 解：∵正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，
侧棱AA₁=2，
∴异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值，
∴以A为原点，在平面ABC内，过点A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意，A（0，0，0），B₁（$\sqrt{3}$，1，2），
B（$\sqrt{3}$，1，0）C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，1，2$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），
设异面直线AB₁与BC₁所成角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}，\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$|=|$\frac{-3+1+4}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$|=$\frac{1}{4}$．
∴异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．