Question

9．如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为$\frac{π}{3}$的扇形，A是扇形弧PQ上的动点，AB∥OQ，OP与AB交于点B，AC∥OP，OQ与AC交于点C，求点A的位置，使平行四边形ABOC的面积最大，并求出这个最大面积．

Answer 1

分析 作AH⊥OP，H为垂足，则AH=sinα，OH=cosα，BH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα，可得OB=cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα．化简平行四边形ABOC的面积S′=OB•AH，等于 $\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．由0＜α＜$\frac{π}{3}$，可得当 2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，S′取得最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$．

解答 解：由题意可得0＜α＜$\frac{π}{3}$，作AH⊥OP，H为垂足，
则AH=sinα，OH=cosα，tan∠ABH=$\frac{AH}{BH}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
故BH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα，
∴OB=cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα．
故平行四边形ABOC的面积S′=OB•AH=（cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα ）sinα=sinαcosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin²α 
=$\frac{1}{2}$sin2α-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1-cos2α}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2α-$\frac{\sqrt{3}}{6}$cos2α-$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
由于0＜α＜$\frac{π}{3}$，故$\frac{π}{6}$＜2α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
故当 2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，S′取得最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．