Question

【题目】已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得=，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．

过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，

∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|,∴=，

设PA的倾斜角为α，则sinα=，

当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，

设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），

即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，

∴P（2，1），

∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1），

∴双曲线的离心率为=+1．

故答案为：C