Question

【题目】已知函数.

（1）证明：在上单调递减，在上单调递增；

（2）记函数的最小值为，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）的最大值为2.

【解析】

（1）由定义法,分别设和两种不同情况时,计算的正负即可；

（2）分别计算在和时的最小值,更小的那个即为函数的最小值,再分不同情况时将的函数解析式表示出,画图即可求出的最大值.

（1）设,

又∵,

∴.

当时,,

∴.

当时,,

∴.

即在上单调递减,在上单调递增.

（2）由（1）得,在时的最小值为.

由∵当时,二次函数的对称轴为,

由题意可得,时,.

∴当a≥0时, 在(－∞,0]上递减,故在(－∞,0]上的最小值为, f(x)在(0,＋∞)上的最小值为f(1)＝3－a；

∵,

∴.

当a＜0时,f(x)在(－∞,0]上的最小值为f(a)＝1,f(x)在(0,＋∞)上的最小值为f(1)＝3－a；

∵,

∴.

即,

所以M(a)在(－∞,0)上为常数函数,在(0,1)上是增函数,在(1,＋∞)上是减函数,作出M(a)的函数图象如图所示：

所以M(a)的最大值为2.