题目内容
给定椭圆
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为
，且其短轴上的一个端点到
的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程和其“准圆”方程；
(Ⅱ)点
是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线
，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直，并说明理由．
： ，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，且其短轴上的一个端点到的距离为.(Ⅰ)求椭圆
的方程和其“准圆”方程；(Ⅱ)点
是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直，并说明理由．(Ⅰ)
，
；(Ⅱ)垂直.
，；(Ⅱ)垂直.试题分析：(Ⅰ)利用焦点坐标求出
，利用短轴上的一个端点到的距离为，求出
，解出
，
，写出椭圆方程，通过得到的，求出准圆的半径，直接写出准圆方程；(Ⅱ)分情况讨论：①当中有一条直线的斜率不存在时，②当的斜率都存在时.试题解析：(Ⅰ)由题意可知
，，则，，所以椭圆方程为
. 2分易知准圆半径为
，则准圆方程为
. 4分(Ⅱ)①当
中有一条直线的斜率不存在时，不妨设
的斜率不存在，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为
，当
的方程为
时，此时与准圆交于点
，
，此时经过点
或且与椭圆只有一个公共点的直线是
或
，即
为或，显然直线垂直； 6分同理可证直线
的方程为
时，直线也垂直． 7分②当
的斜率都存在时，设点
，其中
.设经过点
与椭圆只有一个公共点的直线为
，由
消去
，得
.由
化简整理得，
. 因为，所以有
. 10分设直线
的斜率分别为
，因为与椭圆只有一个公共点，所以
满足方程，所以
，即垂直． 12分综合①②知，
垂直． 13分
练习册系列答案
相关题目
轴上，离心率
，点
在椭圆C上.
的标准方程；
的直线
交椭圆
、
两点，且
、
成等差数列，点M（1,1），求
的最大值.
的离心率为
，且经过点
．
的直线与椭圆交于
两点（
点不重合），
的值；
为等腰直角三角形时，求直线
的方程．
的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为
的菱形的四个顶点.
中，已知椭圆
的左焦点为
，左、右顶点分别为
，上顶点为
，过
三点作圆
是圆
上，求椭圆的方程;
交（Ⅱ）中椭圆于
，交
轴于
，求
的最大值 
、
分别为椭圆
的两个焦点,点
为其短轴的一个端点,若
为等边三角形,则该椭圆的离心率为( )
分别是椭圆
的左、右焦点，点P在椭圆上，若△
为直角三角形，则△
与直线
相交于
两点．
，直线
与
围成的矩形
的面积为8，
（
为坐标原点），求证：
；
满足
，求椭圆长轴长的取值范围．
的四个顶点A、B、C、D, 若菱形ABCD的内切圆恰好经过椭圆的焦点, 则椭圆的离心率为 __ ．