Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点．
（1）求证：EF⊥CD；
（2）求DB与平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD=a，求出D，A，B，C，E，P，F，坐标
（1）通过

EF

•

DC

=0，证明EF⊥CD．
（2）设平面DEF的法向量为

n

=（x，y，z），由

(x，y，z)•( a 2 a 2 a 2 )=0    (x，y，z)•(a  a 2 ，0)=0

，推出

n

=（1，-2，1），
利用cos＜

BD

，

n

＞═

-a

2 a• 6

=-

3

6

．设DB与平面DEF所成角为θ，求出sinθ=

3

6

．

解答：解：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）．
设AD=a，则D（0，0，0），
A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），
E（a，

a

2

，0），P（0，0，a），F（

a

2

，

a

2

，

a

2

）．
（1）证明：∵

EF

•

DC

=（-

a

2

，0，

a

2

）•（0，a，0）=0，
∴

EF

⊥

DC

，∴EF⊥CD．
（2）设平面DEF的法向量为

n

=（x，y，z），
由

(x，y，z)•( a 2 a 2 a 2 )=0   (x，y，z)•(a  a 2 ，0)=0

，得即

a 2 (x+y+z)=0 ax+ a 2 y=0

，
取x=1，则y=-2，z=1，
∴

n

=（1，-2，1），
∴cos＜

BD

，

n

＞═

-a

2 a• 6

=-

3

6

．
设DB与平面DEF所成角为θ，则sinθ=

3

6

．

点评：本题是中档题，考查空间向量求直线与平面的夹角，证明直线与直线的垂直，直线与平面所成的角，考查计算能力．