Question

已知函数f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x+a（其中a为常数）．
（Ⅰ）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞），f（x）≥（a²+a+3）x恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）记函数H（x）=[f（x）-1]•[g（x）-1]，若函数y=H（x）有5个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=（3x-a）（x-a），由此利用导数性质能求出a=3或a=-1．
（Ⅱ）由已知得x（x-a）²≥（a²+a+3）x在（0，+∞）上恒成立，从而x²-2ax-（a+3）≥0在（0，+∞）上恒成立，由此能求出a的取值范围．
（Ⅲ）由题意得f（x）-1=0有3个不同的实根，g（x）-1=0有两个不同的实根，且这两个实根两两不等，由此分类讨论，能求出当a＞

3 3 2

2

时，函数y=H（x）有5个不同的零点．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=（3x-a）（x-a），
令f′（x）=0，解得：x=a或x=

a

3

而g（x）在x=

a-1

2

处有极大值，
∴

a-1

2

=a，解得a=-1，或

a-1

2

=

a

3

，解得a=3，
综上a=3或a=-1．
（Ⅱ）由已知得x（x-a）²≥（a²+a+3）x在（0，+∞）上恒成立，
∴x²-2ax-（a+3）≥0在（0，+∞）上恒成立，
令h（x）=x²-2ax-（a+3），
∵△=4(a+

1

2

)2+11＞0，
∴

a＜0 h(0)≥0

，
解得a≤-3，∴a的取值范围是（-∞，-3]．
（Ⅲ）由题意得f（x）-1=0有3个不同的实根，
g（x）-1=0有两个不同的实根，
且这两个实根两两不等，
①g（x）-1=0有2个不同实根，
只需满足g（

a-1

2

）＞1，解得a＞1或a＜-3．
②f（x）-1=0有3个不同的实根，
（i）当

a

3

＞a，即a＜0时，f（x）在（-∞，a）上为增函数，在（a，

a

3

）上为减函数，
在（

a

3

，+∞）上为增函数，在x=a处取得极大值，
而f（a）=0，不合题意，舍；
（ii）当

a

3

=a，即a=0时，不合题意，舍；
（iii）当

a

3

＜a，即a＞0时，
f（x）在（-∞，

a

3

）上为增函数，在（

a

3

，a）上为减函数，
在（a，+∞）上为增函数，
f（x）在x=

a

3

处取得极大值，f（

a

3

）＞1，解得a＞

3 3 2

2

，∴a＞

3 3 2

2

．
∵①②要同时满足，故a＞

3 3 2

2

．
下面证明这5个根两两不相等，
即证：不存在x₀，使得f（x₀）-1=0和g（x₀）-1=0同时成立．
若存在x₀，使得f（x₀）=g（x₀）=1，
由f（x₀）=g（x₀），即x0(x0-a)2=-x02+(a-1)x0+a，
得(x0-a)(x02-ax0+x0+1)=0，
当x₀≠a时，f（x₀）=g（x₀）=0，不符合，舍去；
当x₀≠a时，即有x02-ax0+x0+1=0，②
联立①②式，得a=0；
而当a=0时，H（x）=[f（x）-1]•[g（x）-1]=（x³-1）（-x²-x-1）=0无5个不同的零点，舍．
∴这5个实根两两不相等．
综上所述，当a＞

3 3 2

2

时，函数y=H（x）有5个不同的零点．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．