Question

锐角三角形ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量

m

=(c-a，b-a)，

n

=(a+b，c)且

m

∥

n

（1）求角B的大小；
（2）若b=1，求a+c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先运用向量的平行的充要条件得出边a、b、c的一个等，通过变形为分式再结合余弦定理可得cosB=

1

2

，结合B∈（0，π）得B=

π

3

；
（2）根据正弦定理将a+c变形为关于角A的一个三角函数式，再结合已知条件得出A的取值范围，在此基础上求关于A的函数的值域，即为a+c的取值范围．

解答：解：（1）∵

m

 ∥

n

∴（c-a）c-（b-a）（a+b）=0    
∴a²+c²-b²=ac  即 

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

三角形ABC中由余弦定理，得
cosB=

1

2

，结合B∈（0，π）得B=

π

3

（2）∵B=

π

3

∴A+C=

2π

3

由题意三角形是锐角三角形，得0＜A＜

π

2

，  0＜

2π

3

-A＜

π

2

∴

π

6

＜A＜

π

2

再由正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

 且b=1
∴a+c=

bsinA+bsinC

sinB

=

sinA+sin( 2π 3 -A)

3 2

=

2

3

(

3

2

sinA+

3

2

cosA) =

3

sinA+cosA=2sin(A+

π

6

)
∵

π

6

＜A＜

π

2

 
∴

π

3

＜A+

π

6

＜

2π

3

∴

3

＜2sin(A+

π

6

) ≤2

∴a+c∈(

3

，2]

点评：本题综合了向量共线与正、余弦定理知识，解决角的取值和边的取值范围等问题，考查了函数应用与等价转化的思想，属于中档题．