Question

是否存在一个等比数列{a_n}，使其满足下列三个条件：

(1)a₁＋a₆＝11且；

(2)a_n+1＞a_n(n∈N^*)；

(3)至少存在一个m(m∈N^*，m＞4)，使，a_m²，依次成等差数列．若存在，写出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：假设存在这样的数列{an}． 　　∵a1＋a6＝11，a1a6＝a3a4＝， 　　∴a1，a6是方程x2－11x＋＝0的两根，解得，． 　　∵an+1＞an(n∈N*)，∴，． 　　设公比为q，则，于是q＝2． 　　∴． 　　由am－1，am2，am+1＋依次成等差数列，得， 　　即． 　　解得m＝3． 　　又∵m＞4，所以不存在满足条件的等比数列． 　　思路分析：由等比数列性质，得a1a6＝a3a4＝，结合a1＋a6＝11，可以联想韦达定理，构造一个一元二次方程求出a1，a6．