Question

是否存在一个等比数列{a_n},使其满足下列三个条件:

(1)a₁+a₆=11且a₃a₄=;

(2)a_n+1＞a_n(n∈N^*);

(3)至少存在一个m(m∈N^*,m＞4),使a_m-1,,a_m+1+依次成等差数列.

若存在,写出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解:假设存在这样的数列{a_n}.

∵a₁+a₆=11,a₁a₆=a₃ a₄=,

∴a₁、a₆是方程x²-11x+=0的两根,解得x₁=,x₂=.

∵a_n+1＞a_n(n∈N^*),∴a₁=,a₆=.

设公比为q,则a₆==q⁵,于是q=2.

∴a_n=×2^n-1.

由a_m-1,,a_m+1+依次成等差数列,得2=a_m-1+a_m+1+,

即2×(×2^m-1)²=××2^m-2+×2^m+.

解得m=3.

又∵m＞4,∴不存在满足条件的等比数列.