Question

已知双曲线，椭圆C与双曲线有相同的焦点，两条曲线的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆C经过点M，点M的横坐标为2，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m，l交椭圆于A、B两个不同点，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出椭圆的标准方程，依据条件，待定系数法求出待定系数，进而得到椭圆的标准方程．
（2）用点斜式设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用判别式大于0，求出m的取值范围．
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只要证明k₁+k₂=0即可．设出A、B两个点的坐标，并用此坐标表示k₁，k₂，把（2）中根与系数的关系代入k₁+k₂化简可得结论．
解答：解（1）设椭圆方程为，∵焦点坐标（±，0），离心率是，
a²=8，b²=a²-c²=2，
所以椭圆方程
（2）因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
又，所以l的方程为：，
由，
因为直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，（8分）
所以m的取值范围是{m|-2＜m＜2，m≠0}．（9分）
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只要证明k₁+k₂=0即可．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则
由x²+2mx+2m²-4=0
可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4（10分）
而（11分）
=（12分）
==∴k₁+k₂=0，
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系的综合应用．