Question

已知双曲线C的方程为x²-15y²=15．
（1）求其渐近线方程；
（2）求与双曲线C焦点相同，且过点（0，3）的椭圆的标准方程．

Answer 1

分析：（1）双曲线方程化为标准方程，由双曲线的标准方程可求得 a、b，可得渐近线方程．
（2）求出抛物线的焦点坐标，求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的定义得到a，最后利用a，b，c的关系即可求出b的值，得到椭圆方程．

解答：解：（1）双曲线方程化为

x2

15

-y2=1，（1分）
由此得a=

15

，b=1，（3分）
所以渐近线方程为y=±

1

15

x，即y=±

15

15

x．（5分）
（2）双曲线中，c=

a2+b2

=

15+1

=4，焦点为（-4，0），（4，0）．（7分）
椭圆中，2a=

(-4-0)2+(0-3)2

+

(4-0)2+(0-3)2

=10，（9分）
则a=5，b²=a²-c²=5²-4²=9．（11分）
所以，所求椭圆的标准方程为

x2

25

+

y2

9

=1．（13分）

点评：此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，会求椭圆的标准方程，是一道综合题．本题还考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键．