Question

12．设区域D：{（x，y）|x+y≤1，x-y≥0，y≥0}．
（Ⅰ）在直角坐标系中作出区域D的图形并求出其面积；
（Ⅱ）若z=ax+by（b＞a＞0），（x，y）∈D的最大值为1，求$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值；
（Ⅲ）若（m，n）∈D，比较双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{（n-1）^{2}}$=1和C₂：$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{（m-1）^{2}}$=1的离心率e₁，e₂的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二元一次不等式组表示平面区域进行作图即可．
（Ⅱ）利用线性规划的知识，结合基本不等式进行求解．
（Ⅲ）求出双曲线的离心率，利用作差法进行比较即可．

解答 解：（Ⅰ）作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分，
（Ⅱ）由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
∵b＞a＞0，
∴直线y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$的斜率-$\frac{a}{b}$∈（-1，0），且截距最大时，z也最大．
平移直线y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，由图象可知当y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{x-y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
此时z=$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$b=1，
则$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$）（$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$b）=2+$\frac{1}{2}$+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{2b}$≥$\frac{5}{2}$+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}{2b}}$=$\frac{5}{2}$+2=$\frac{9}{2}$，
即$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值是$\frac{9}{2}$．
（Ⅲ）若（m，n）∈D，
则0＜m＜1，0＜n＜$\frac{1}{2}$，
则双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{（n-1）^{2}}$=1中，a²=m²，b²=（n-1）²，
则c²=m²+（n-1）²，e₁²=$\frac{{m}^{2}+（n-1）^{2}}{{m}^{2}}$=1+$\frac{（n-1）^{2}}{{m}^{2}}$
在C₂：$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{（m-1）^{2}}$=1中，a²=n²，b²=（m-1）²，
则c²=n²+（m-1）²，e₂²=$\frac{{n}^{2}+（m-1）^{2}}{{n}^{2}}$=1+$\frac{（m-1）^{2}}{{n}^{2}}$，
则e₁²-e₂²=1+$\frac{（n-1）^{2}}{{m}^{2}}$-1-$\frac{（m-1）^{2}}{{n}^{2}}$=$\frac{（n-1）^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{（m-1）^{2}}{{n}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}（n-1）^{2}-{m}^{2}（m-1）^{2}}{{m}^{2}{n}^{2}}$=$\frac{（{n}^{2}-n）^{2}-（{m}^{2}-m）^{2}}{{n}^{2}{m}^{2}}$
=$\frac{{（n}^{2}-n+{m}^{2}-m）（{n}^{2}-n-{m}^{2}+m）}{{n}^{2}{m}^{2}}$=$\frac{[n（n-1）+m（m-1）]（n-m）（n+m-1）}{{n}^{2}{m}^{2}}$，
∵0＜m＜1，0＜n＜$\frac{1}{2}$，
∴n（n-1）+m（m-1）＜0，
∵（m，n）∈D，∴m+n≤1，m-n≥0，
∴m+n-1≤0，
则$\frac{[n（n-1）+m（m-1）]（n-m）（n+m-1）}{{n}^{2}{m}^{2}}$≥0，
即e₁²-e₂²≥0，则e₁²≥e₂²，
即e₁≥e₂．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式进行求解是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较去年，难度较大．