题目内容

已知数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=1+ $数学公式$ 我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：1，2， $数学公式$ ， $数学公式$ …；当a=- $数学公式$ 时，得到有穷数列：- $数学公式$ ，-1，0．
（Ⅰ）求当a为何值时a₄=0；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1= $数学公式$ （n∈N₊），求证a取数列{b_n}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a_n}；
（Ⅲ）若 $数学公式$ ＜a_n＜2（n≥4），求a的取值范围．

解：（I）解法1：∵a_n+1=1+ $\text{[math]}$ ，∴a_n= $\text{[math]}$ ，∵a₄=0，∴a₃=-1，a₂=- $\text{[math]}$ ，a=a₁=- $\text{[math]}$ ；
解法2：∵a₁=a，a_n+1=1+ $\text{[math]}$ ，∴a₂= $\text{[math]}$ ．a₃= $\text{[math]}$ ，a₄= $\text{[math]}$ ，∵a₄=0，∴a=- $\text{[math]}$ ．
（II）∵b_n+1= $\text{[math]}$ ，∴b_n= $\text{[math]}$ +1，
若a取数列{b_n}的一个数b_n，即a=b_n，则a₂=1+ $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ =b_n-1，a₃=1+ $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ =b_n-2，
∴a_n-1=b₁=-1，∴a_n=1+ $\text{[math]}$ =0
所以数列{a_n}只能有n项为有穷数列．
（III）解法一：因为 $\text{[math]}$ ＜a_n＜2（n≥4）? $\text{[math]}$ （n≥5）? $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ＜a_n-1＜2（n≥5）
所以 $\text{[math]}$ ＜a_n＜2（n≥4）? $\text{[math]}$ ＜a₄＜2? $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜2?a＞0
这就是所求的取值范围．
分析：（I）解法1：由设条件知a_n= $\text{[math]}$ ，由a₄=0，导出a₃=-1，进而导出a₂=- $\text{[math]}$ ，由此可知a=a₁=- $\text{[math]}$ ．
解法2：由a₁=a，a_n+1=1+ $\text{[math]}$ ，可以推导出a₄= $\text{[math]}$ 0，由此可知a=- $\text{[math]}$ ．
（II）由b_n+1= $\text{[math]}$ ，知b_n= $\text{[math]}$ +1，若a=b_n，则由题设条件能够推出a_n=1+ $\text{[math]}$ =0所以数列{a_n}只能有n项为有穷数列．
（III）由题设条件可知 $\text{[math]}$ （n≥5），由此能够推出a的取值范围．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细计算，避免错误．