Question

已知全集U=R，A={x|log2(3-x)≤2}，B={x|

a

x+2

≥1．a∈R}
（Ⅰ）求集合A和B；
（Ⅱ）若（C_UA）∪B=C_UA，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解对数不等式求出集合A，解分式不等式求出集合B．
（Ⅱ）由题意可得 B⊆C_UA，讨论区间的端点间的大小关系，求得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由已知得：log₂（3-x）≤log₂4，

3-x≤4 3-x＞0

，
解得-1≤x＜3，∴A={x|-1≤x＜3}．

a

x+2

≥1 即

a-x-2

x+2

≥0，

x-(a-2)

x+2

≤ 0．
当 a-2＞-2，即a＞0时，B=（-2，a-2]，
当 a-2=-2，即a=0时，B=∅，
当 a-2＜-2，即a＜0时，B=[a-2，2）．
（Ⅱ）由（C_UA）∪B=C_UA得 B⊆C_UA，∵C_UA={x|x＜-1或x≥3}，
当a＞0时，由B⊆C_UA 可得a-2＜-1，故有 0＜a＜1．
当a=0时，B=∅，显然满足B⊆C_UA．
当a＜0时，B=[a-2，2），不满足B⊆C_UA．
综上，当 0≤a＜1 时，（C_UA）∪B=C_UA成立，
故实数a的取值范围是[0，1）．

点评：本题主要考查对数不等式的解法，分式不等式的解法，集合中参数的取值问题，体现了化归与转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．