Question

如图，四棱锥的底面为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中，，平面底面，是的中点．

(1)求证：//平面；

(2)求证：；

(3)求三棱锥的体积．

 

Answer 1

（1）祥见解析；（2）祥见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）证BE∥平面PAD，可先取CD的中点为M，构建平面EBM，证明平面EBM∥平面APD，由面面平行，得到线面平行；

（2）取PD的中点F，连接FE，根据线面垂直的判定及性质，及等腰三角形性质，结合线面垂直的判定定理可得AF⊥平面PDC，又由BE∥AF，可得BE⊥平面PDC；

（3）利用等体积法，由VP-ACD=VC-PAD，即可求三棱锥P-ACD的体积V．

试题解析：（1）证明：如图，

取PD的中点F，连接EF、AF，则在三角形PDC中

∴EF∥CD且，AB∥CD且；

∴EF∥AB且，∴四边形ABEF是平行四边形， 2分

∴BE∥AF，而BE平面PAD，而AF?平面PAD，

∴BE∥平面PAD； 4分

（2）证明：在直角梯形中，

平面底面，

平面底面=AD

∴CD⊥平面PAD，

， ∴CD⊥AF

由（1）BE∥AF， ∴CD⊥BE 10分

（3）解:由（2）知∴CD⊥平面PAD，

△PAD是边长为1的等边三角形

∴三棱锥的体积= 14分

考点：1．直线与平面平行的判定;2．直线与平面垂直的判定;3．棱柱、棱锥、棱台的体积．