Question

已知点为轴上的动点，点为轴上的动点，点为定点，且满足，.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为的直线与曲线交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得成立，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）在轴上存在点，使得成立

试题分析：（Ⅰ）设，则由，得为的中点.        ……2分
∴, .
∴ , .
∴, 即.
∴动点的轨迹的方程.                                         ……5分
（Ⅱ）设直线的方程为，由  消去得.
设，, 则, .                      ……6分
假设存在点满足条件，则, ,
∴

.                                         ……9分
∵,
∴关于的方程有解 .                             ……11分
∴假设成立，即在轴上存在点，使得成立.         ……12分
点评：每年高考都会考查圆锥曲线问题，此类题目一般运算量较大，主要考查学生的运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.