Question

16．双曲线C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左右焦点分别为F₁，F₂，F₂也是抛物线${C_1}：{y^2}=2px（{p＞0}）$的焦点，点A是曲线C_l与C₂在第一象限内的交点，且|AF₂|=|F₁F₂|，则双曲线的离心率为1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的右焦点坐标与抛物线的焦点坐标的关系，利用抛物线的定义，推出A的坐标，代入双曲线方程求解即可．

解答 解：双曲线C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左右焦点分别为F₁，F₂，
F₂也是抛物线${C_1}：{y^2}=2px（{p＞0}）$的焦点，可得：$\frac{p}{2}=c$，抛物线的准线方程为：x=-c，
点A是曲线C_l与C₂在第一象限内的交点，且|AF₂|=|F₁F₂|，可得A（c，2c），
则：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}=1$，可得e²-$\frac{4{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$=1，e＞1，解得e=1+$\sqrt{2}$．
故答案为：$1+\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线与抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．