Question

8．已知MN是椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1中垂直于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端点，求直线MA和NB交点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 如图所示，设M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀）．直线AM的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+4}（x+4）$，（x₀≠-4），直线BN的方程为：y=-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-4}（x-4）$，（x₀≠4），两式相乘可得：y²=-$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-16}（{x}^{2}-16）$．再利用点M在椭圆上即可得出．

解答 解：如图所示，
设M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀）．
直线AM的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+4}（x+4）$，（x₀≠-4）
直线BN的方程为：y=-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-4}（x-4）$，（x₀≠4）
两式相乘可得：y²=-$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-16}（{x}^{2}-16）$．
∵点M在椭圆上，∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{16}+\frac{{y}_{0}^{2}}{9}$=1，
∴-$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-16}$=$\frac{9}{16}$．
∴${y}^{2}=\frac{9}{16}（{x}^{2}-16）$，
化为$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
当x₀=±4时，上式也成立．
∴直线MA和NB交点P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线的点斜式及其交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．