题目内容
若F1F2为双曲线| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| F1O |
| PM |
| ||||
|
|
| ||||
|
|
（1）求此双曲线的离心率；
（2）若此双曲线过点N（2，
| 3 |
（3）设（2）中双曲线的虚轴端点为B1，B2（B1在y轴正半轴上），求B2作直线AB与双曲线交于A B两点，求
| B1A |
| B1B |
分析：（1）先由
=
知四边形PF1OM为平行四边形，再利用
=
得PF1OM为菱形，所以就有
=e
求出离心率e即可．
（2）由（1）求出的离心率e以及双曲线过点N（2，
），可以求出c，a进而求出双曲线方程；
（3）先设出直线AB的方程，再与双曲线方程联立，求出关于A，B两点坐标的方程，再利用
⊥
?x1x2+y1y2-3（y1+y2）+9=0，就可求出对应的直线的斜率，进而求出直线AB的方程．
| F1D |
| PM |
| ||||
|
|
| ||||
|
|
| c+2a |
| c |
求出离心率e即可．
（2）由（1）求出的离心率e以及双曲线过点N（2，
| 3 |
（3）先设出直线AB的方程，再与双曲线方程联立，求出关于A，B两点坐标的方程，再利用
| B1A |
| B1B |
解答：解：（1）由
=
知四边形PF1OM为平行四边形，
又由
=
知OP平分∠F1OM，∴PF1OM为菱形，
设半焦距为c，由|
|=c 知|
|=c，
|
|=c，∴|
|=|
|+2a=c+2a，
又
=e，即
=e
e2-e-2=0，∴e=2（e=-1舍去）（4分）
（2）∵e=2=
∴c=2a，∴双曲线方程为
-
=1，
将点（2，
）代入，有
-
=1∴a2=3．
即所求双曲线方程为
-
=1．（8分）
（3）依题意得B1（0，3），B2（0，-3）
设直线AB的方程为y=kx-3，A（x1，y1）B（x2，y2）．
则由
?(3-k2)x2+6kx-18=0．
∵双曲线的渐近线为y=±
x，∴k=±
时，AB与双曲线只有一个交点，
即k≠±
∵x1+x2=-
，x1•x2=
．
y1+y2=k（x1+x2）-6=
，y1y2=k2x1x2-k（x1+x2）+9=9
又
=（x1，y1-3），
=（x2，y2-3），
⊥
?x1x2+y1y2-3（y1+y2）+9=0，
∴
+9-3•
+9=0，即k2=5∴k=±
．
故所求直线AB的方程为y=
x-3或y=-
x-3．（14分）
| F1D |
| PM |
又由
| ||||
|
|
| ||||
|
|
知OP平分∠F1OM，∴PF1OM为菱形，
设半焦距为c，由|
| OF1 |
| PF1 |
|
| PM |
| PF2 |
| PF1 |
又
|
| ||
|
|
| c+2a |
| c |
e2-e-2=0，∴e=2（e=-1舍去）（4分）
（2）∵e=2=
| c |
| a |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 3a2 |
将点（2，
| 3 |
| 4 |
| a2 |
| 3 |
| 4a2 |
即所求双曲线方程为
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 9 |
（3）依题意得B1（0，3），B2（0，-3）
设直线AB的方程为y=kx-3，A（x1，y1）B（x2，y2）．
则由
|
∵双曲线的渐近线为y=±
| 3 |
| 3 |
即k≠±
| 3 |
| 6k |
| 3-k2 |
| -18 |
| 3-k2 |
y1+y2=k（x1+x2）-6=
| -18 |
| 3-k2 |
又
| B1A |
| B1B |
| B1A |
| B1B |
∴
| -18 |
| 3-k2 |
| -18 |
| 3-k2 |
| 5 |
故所求直线AB的方程为y=
| 5 |
| 5 |
点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量共线问题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．
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