Question

中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一个双曲线有共同的焦点F₁，F₂，|F1F2|=2

13

，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7，
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为两曲线的交点（P在第一象限），求

PF1

•

PF2

的值．

Answer 1

分析：（1）根据半焦距c=

13

，设椭圆长半轴为a，由离心率之比求出a，进而求出椭圆短半轴的长及双曲线的虚半轴的长，写出椭圆和双曲线的标准方程．
（2）由椭圆、双曲线的定义求出PF₁与PF₂的长，三角形F₁PF₂中，利用余弦定理求出 cos∠F₁PF₂ 的值，最后利用向量的数量积公式求解即可．

解答：解：（1）由题意知，半焦距c=

13

，设椭圆长半轴为a，则双曲线实半轴 a-4，
离心率之比为

3

7

=

13 a

13 a-4

，
∴a=7，
∴椭圆的短半轴等于

49-13

=6，双曲线虚半轴的长为

13-9

=2，
∴椭圆和双曲线的方程分别为：

x2

49

+

y2

36

=1和

x2

9

-

y2

4

=1．
（2）由椭圆的定义得：PF₁ +PF₂=2a=14，
由双曲线的定义得：PF₁-PF₂=6，
∴PF₁=10，PF₂=4，
又F₁F₂=2

13

，三角形F₁PF₂中，利用余弦定理得：(2

13

)2=100+16-80cos∠F₁PF₂，
∴cos∠F₁PF₂=

4

5

．
则

PF1

•

PF2

=|

PF1

|•|

PF2

|cos∠F₁PF₂=10×4×

4

5

=32．

点评：本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程和几何性质、平面向量数量积的运算，考查计算能力．属于基础题．