题目内容

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；
（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，F1F2为双曲线C的左，右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．
【答案】分析：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0，由该直线与圆相切，知双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．由此利用双曲线C的一个焦点为 ，能求出双曲线C的方程．
（Ⅱ）由，得（1-m2）x2-2mx-2=0．令f（x）=（1-m2）x2-2mx-2．直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．由此能求出直线l在y轴上的截距b的取值范围．
（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|QF1|，若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|．由此能求出点N的轨迹方程．
解答：解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，
则kx-y=0
∵该直线与圆相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．
故设双曲线C的方程为．
又双曲线C的一个焦点为 
∴2a2=2，a2=1．
∴双曲线C的方程为x2-y2=1．
（Ⅱ）由
得（1-m2）x2-2mx-2=0．
令f（x）=（1-m2）x2-2mx-2
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．
因此
解得．
又AB中点为，
∴直线l的方程为．
令x=0，
得．
∵，
∴
∴．
（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，
则延长QF2到T，使|QT|=|QF1|，
若Q在双曲线的左支上，
则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|．
根据双曲线的定义|TF2|=2，
所以点T在以为圆心，2为半径的圆上，
即点T的轨迹方程是①
由于点N是线段F1T的中点，
设N（x，y），T（xT，yT）．
则，即．
代入①并整理得点N的轨迹方程为x2+y2=1.
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
练习册系列答案
相关题目
（2013•潍坊一模）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲
x2
4
-
y2
5
=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=
2
|AF|，则A点的横坐标为（　　）
（2012•淮南二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
4
3
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
1
2
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直MA交直x=4于点P，过P作直线MB的垂线x轴于点Q，Q的坐标；
（3）求点P在直线MB上射R的轨迹方程．

（08年龙岩一中冲刺文）（分）已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为一条渐近线的方程是过双曲线C的右焦点F2的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点.

   （1）求双曲线C的方程；

   （2）若A、B分别是双曲C上两条渐近线上的动点，且2|AB|=|F1F2|，求线段AB的中点M的迹方程，并说明该轨迹是什么曲线。

   （3）若在双曲线右准线L的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围.

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A (0，)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于y = x对称．

    （1）求双曲线C的方程；

    （2）若Q是双曲线线C上的任一点，F1，F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程；

    （3）设直线y = mx + 1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线l经过M (–2，0)及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

已知抛物线的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为

A．            B．3                C．            D．4

 

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网