题目内容
已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点
为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；
（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，F1F2为双曲线C的左，右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．
【答案】分析：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0，由该直线与圆
相切，知双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．由此利用双曲线C的一个焦点为 
，能求出双曲线C的方程．
（Ⅱ）由
，得（1-m2）x2-2mx-2=0．令f（x）=（1-m2）x2-2mx-2．直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．由此能求出直线l在y轴上的截距b的取值范围．
（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|QF1|，若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|．由此能求出点N的轨迹方程．
解答：解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，
则kx-y=0
∵该直线与圆
相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．
故设双曲线C的方程为
．
又双曲线C的一个焦点为
∴2a2=2，a2=1．
∴双曲线C的方程为x2-y2=1．
（Ⅱ）由
得（1-m2）x2-2mx-2=0．
令f（x）=（1-m2）x2-2mx-2
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．
因此
解得
．
又AB中点为
，
∴直线l的方程为
．
令x=0，
得
．
∵
，
∴
∴
．
（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，
则延长QF2到T，使|QT|=|QF1|，
若Q在双曲线的左支上，
则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|．
根据双曲线的定义|TF2|=2，
所以点T在以
为圆心，2为半径的圆上，
即点T的轨迹方程是
①
由于点N是线段F1T的中点，
设N（x，y），T（xT，yT）．
则
，即
．
代入①并整理得点N的轨迹方程为x2+y2=1.
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
相切，知双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．由此利用双曲线C的一个焦点为 
，能求出双曲线C的方程．（Ⅱ）由
，得（1-m2）x2-2mx-2=0．令f（x）=（1-m2）x2-2mx-2．直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．由此能求出直线l在y轴上的截距b的取值范围．（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|QF1|，若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|．由此能求出点N的轨迹方程．
解答：解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，
则kx-y=0
∵该直线与圆
相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．
故设双曲线C的方程为
．又双曲线C的一个焦点为
∴2a2=2，a2=1．
∴双曲线C的方程为x2-y2=1．
（Ⅱ）由
得（1-m2）x2-2mx-2=0．
令f（x）=（1-m2）x2-2mx-2
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．
因此
解得
．又AB中点为
，∴直线l的方程为
．令x=0，
得
．∵
，∴
∴
．（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，
则延长QF2到T，使|QT|=|QF1|，
若Q在双曲线的左支上，
则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|．
根据双曲线的定义|TF2|=2，
所以点T在以
为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是
①由于点N是线段F1T的中点，
设N（x，y），T（xT，yT）．
则
，即
．代入①并整理得点N的轨迹方程为x2+y2=1.
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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一条渐近线的方程是
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|F1F2|，求线段AB的中点M的迹方程，并说明该轨迹是什么曲线。
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)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于y = x对称．
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B．3 C．
D．4