题目内容
20．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$（ax+a-x），（a＞0且a≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若函数f（x）的图象过点（2，$\frac{41}{9}$），求f（x）．
分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（2）根据函数过点，代入进行求解即可．
解答 解：（1）函数的定义域为（-∞，+∞），
则f（-x）=$\frac{1}{2}$（a-x+ax）=$\frac{1}{2}$（ax+a-x）=f（x），
则函数f（x）为偶函数；
（2）若函数f（x）的图象过点（2，$\frac{41}{9}$），
则f（2）=$\frac{1}{2}$（a2+a-2）=$\frac{41}{9}$，
即a2+a-2=$\frac{82}{9}$，
即a4-$\frac{82}{9}$a2+1=0
即9a4-82a2+9=0，
解得a2=9或a2=$\frac{1}{9}$
∵a＞0且a≠1，
∴a=3或a=$\frac{1}{3}$．
即f（x）=$\frac{1}{2}$（3x+3-x）．
点评 本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数解析式的求法，考查学生的计算能力，建立方程关系是解决本题的关键．
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