题目内容
设函数f（x）=（a-2）ln（-x）+
+2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a≠0时，求f（x）的单调区间．
【答案】分析：（1）直接利用和式函数的求导公式求解导函数，有对数函数先求定义域，令f′（x）=0，求出极值点，利用导数研究函数的极值；
（2）判定函数当x变化时，f'（x）的变化情况，f'（x）＞0求得单调增区间，f'（x）＜0求得单调减区间，f'（x）的变化情况研究出函数的极值．
解答：解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（-∞，0）．
当a=0时，
，
=
．
令f′（x）=0，解得
．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
由上表知：当
时，f′（x）＞0；当
时，f′（x）＜0．
故当
时，f（x）取得极大值为2ln2-2．（5分）
（Ⅱ）
=
=
若a＞0，令f′（x）＞0，解得：
；令f′（x）＜0，解得：
．
若a＜0，①当-2＜a＜0时，
令f′（x）＞0，解得：
；
令f′（x）＜0，解得：
或
．
②当a=-2时，
，
③当a＜-2时，
令f′（x）＞0，解得：
；
令f′（x）＜0，解得：
或
．
综上，当a＞0时，f（x）的增区间为
，减区间为
；
当-2＜a＜0时，f（x）的增区间为
，减区间为
，
；
当a=-2时，f（x）的减区间为（-∞，0），无增区间；
当a＜-2时，f（x）的增区间为
，减区间为
，
．（14分）
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值．
（2）判定函数当x变化时，f'（x）的变化情况，f'（x）＞0求得单调增区间，f'（x）＜0求得单调减区间，f'（x）的变化情况研究出函数的极值．
解答：解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（-∞，0）．
当a=0时，
，
=
．令f′（x）=0，解得
．当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
由上表知：当
时，f′（x）＞0；当
时，f′（x）＜0．故当
时，f（x）取得极大值为2ln2-2．（5分）（Ⅱ）
=
=
若a＞0，令f′（x）＞0，解得：
；令f′（x）＜0，解得：
．若a＜0，①当-2＜a＜0时，
令f′（x）＞0，解得：
；令f′（x）＜0，解得：
或
．②当a=-2时，
，
③当a＜-2时，
令f′（x）＞0，解得：
；令f′（x）＜0，解得：
或
．综上，当a＞0时，f（x）的增区间为
，减区间为
；当-2＜a＜0时，f（x）的增区间为
，减区间为
，
；当a=-2时，f（x）的减区间为（-∞，0），无增区间；
当a＜-2时，f（x）的增区间为
，减区间为
，
．（14分）点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值．
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