题目内容
（2013•惠州模拟）设函数f（x）=x3-4x+a（0＜a＜2）有三个零点x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论正确的是（ ）
分析：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．
解答：解：∵函数f （x）=x3-4x+a，0＜a＜2，
∴f′（x）=3x2-4．令f′（x）=0，得 x=±
．
∵当x＜-
时，f′（x）＞0；
在（-
，
）上，f′（x）＜0；
在（
，+∞）上，f′（x）＞0．
故函数在（-∞，-
）上是增函数，在（-
，
）上是减函数，在（
，+∞）上是增函数．
故f（-
）是极大值，f（
）是极小值．
再由f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，
得 x1＜-
，-
＜x2
，x3＞
．
根据f（0）=a＞0，且f（
）=a-
＜0，得
＞x2＞0．
∴0＜x2＜1．
故选C．
∴f′（x）=3x2-4．令f′（x）=0，得 x=±
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∵当x＜-
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在（-
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在（
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故函数在（-∞，-
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故f（-
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再由f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，
得 x1＜-
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根据f（0）=a＞0，且f（
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∴0＜x2＜1．
故选C．
点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．
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