题目内容

当a∈（0，π]时，方程x2sina-y2cosa=1表示的曲线可能是
①②③④
①②③④
．（填上你认为正确的序号）
①圆；②两条平行线；③椭圆；④双曲线；⑤抛物线．
分析：对角α在（0，π]内的不同区间分别取值，得到方程x2sina-y2cosa=1表示的不同曲线，从而得到正确的答案．
解答：解：因为α∈（0，π]，当α=
3
4
π时，方程x2sinα-y2cosα=1化为x2+y2=
2
，表示圆；
当α=
π
2
时，方程x2sinα-y2cosα=1化为x2=1，即x=±1，为两条平行直线；
当
π
2
＜α＜π，且α≠
3
4
π时，方程x2sina-y2cosa=1表示的曲线是椭圆；
当0＜α＜
π
2
时，方程x2sina-y2cosa=1表示的曲线是双曲线；
当α=π时，方程x2sina-y2cosa=1化为y2=1，即y=±1，为两条平行直线．
综上，当a∈（0，π]时，方程x2sina-y2cosa=1表示的曲线可能是圆；两条平行线；椭圆；双曲线．
故答案为①②③④．
点评：本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了圆锥曲线的概念，是中档题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=
x
，g（x）=alnx，a∈R，
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的φ（a），证明：当a∈（0，+∞）时，φ（a）≤1．
已知函数f（x）=
x
，g（x）=aln x，a∈R．
（1）设h（x）=f（x）-g（x），当h（x）存在最小值时，求最小值φ（a）的解析式；
（2）对于（1）中的φ（a），证明当a∈（0，+∞）时，φ（a）≤1．
已知函数f（x）=
x
-
1
2
alnx，a∈R．
（Ⅰ）当f（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的φ（a），
（ⅰ）当a∈（0，+∞）时，证明：φ（a）≤1；
（ⅱ）当a＞0，b＞0时，证明：φ′（
a+b
2
）≤
φ′(a)+φ′(b)
2
≤φ′（
2ab
a+b
）．
已知函数f（x）=
x
，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（2）设函数h（x）=f（x）-g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；
（3）对（2）中的φ（a），证明：当a∈（0，+∞）时，φ（a）≤1．
（2013•茂名一模）已知函数g(x)=
13
ax3+2x2-2x，函数f（x）是函数g（x）的导函数．
（1）若a=1，求g（x）的单调减区间；
（2）当a∈（0，+∞）时，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x∈[M，0]时，-4≤f（x）≤4恒成立，求M的最小值及相应的a值．

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