Question

已知函数f（x）=

x

，g（x）=aln x，a∈R．
（1）设h（x）=f（x）-g（x），当h（x）存在最小值时，求最小值φ（a）的解析式；
（2）对于（1）中的φ（a），证明当a∈（0，+∞）时，φ（a）≤1．

Answer 1

分析：（1）表示出h（x），求导数h′（x），利用导数求函数h（x）的单调区间及极值，从而可得其最小值，注意对a进行讨论；
（2）用导数求出φ（a）在（0，+∞）上的最大值即可．

解答：解：（1）由条件知h（x）=

x

-aln x（x＞0）．
∴h′（x）=

1

2 x

-

a

x

=

x -2a

2x

．
①当a＞0时，令h′（x）=0，解得x=4a²，
∴当0＜x＜4a²时，h′（x）＜0，h（x）在（0，4a²）上递减；
当x＞4a²时，h′（x）＞0，h（x）在（4a²，+∞）上递增．
∴x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，
且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点．
∴最小值φ（a）=h（4a²）=2a-aln 4a²=2a（1-ln 2a）．
②当a≤0时，h′（x）=

x -2a

2x

＞0，h（x）在（0，+∞）上递增，无最小值．
故h（x）的最小值为φ（a）=2a（1-ln 2a）（a＞0）．
（2）由（1）知φ（a）=2a（1-ln 2a），（a＞0）．
则φ′（a）=-2ln 2a，令φ′（a）=0，解得a=

1

2

．
当0＜a＜

1

2

时，φ′（a）＞0，∴φ（a）在（0，

1

2

）上递增；
当a＞

1

2

时，φ′（a）＜0，∴φ（a）在（

1

2

，+∞）上递减．
∴φ（a）在a=

1

2

处取得极大值φ（

1

2

）=1，
∵φ（a）在（0，+∞）上有且只有一个极值点，
所以φ（

1

2

）=1也是φ（a）的最大值．
∴当a∈（0，+∞）时，总有φ（a）≤1．

点评：本题考查应用导数研究函数的单调性、最值问题，属中档题．