Question

已知函数f（x）=

x

，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（2）设函数h（x）=f（x）-g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；
（3）对（2）中的φ（a），证明：当a∈（0，+∞）时，φ（a）≤1．

Answer 1

分析：（1）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线，从而解出a的值及该切线的方程；
（2）由条件知h（x）=

x

-alnx（x＞0），对h（x）进行求导，分两种情况进行讨论：①a＞0；②a≤0，从而求其最小值φ（a）的解析式；
（3）由（2）知φ（a）=2a（1-ln 2-ln a），对φ（a）进行求导，令φ′（a）=0，求出极值点，及单调性，求出φ（a）在（0，+∞）上的最大值，从而进行证明；

解答：解：（1）∵函数f（x）=

x

，g（x）=alnx，a∈R．
f′（x）=

1

2 x

，g′（x）=

a

x

（x＞0），
由已知得

x =alnx 1 2 x = a x

解得

a= e 2 x=e2

∴两条曲线交点的坐标为（e²，e）．
切线的斜率为k=f′（e²）=

1

2e

，
∴切线的方程为y-e=

1

2e

（x-e²）．
（2）由条件知h（x）=

x

-alnx（x＞0），
∴h′（x）=

1

2 x

-

a

x

=

x -2a

2x

，
①当a＞0时，令h′（x）=0，解得x=4a²．
∴当0＜x＜4a²时，h′（x）＜0，
h（x）在（0，4a²）上单调递减；
当x＞4a²时，h′（x）＞0，
h（x）在（4a²，+∞）上单调递增．
∴x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的惟一极值点，且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点．
∴最小值φ（a）=h（4a²）=2a-aln（4a²）=2a[1-ln （2a）]．
②当a≤0时，h′（x）=

x -2a

2x

＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，无最小值．
故h（x）的最小值φ（a）的解析式为φ（a）=2a[1-ln （2a）]（a＞0）．
（3）证明：由（2）知φ（a）=2a（1-ln 2-ln a），
则φ′（a）=-2ln （2a）．
令φ′（a）=0，解得a=

1

2

．
当0＜a＜

1

2

时，φ′（a）＞0，
∴φ（a）在（0，

1

2

）上单调递增；
当a＞

1

2

时，φ′（a）＜0，
∴φ（a）在（

1

2

，+∞）上单调递减．
∴φ（a）在a=

1

2

处取得极大值φ（

1

2

）=1．
∵φ（a）在（0，+∞）上有且只有一个极值点，
∴φ（

1

2

）=1也是φ（a）的最大值．
∴当a∈（0，+∞）时，总有φ（a）≤1．

点评：此题主要考查利用导数求函数的单调性，第二问和第三问难度比较大，解题的关键是能够对函数能够正确求导，此题是一道中档题；