Question

已知函数f（x）=

x

，g（x）=alnx，a∈R，
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的φ（a），证明：当a∈（0，+∞）时，φ（a）≤1．

Answer 1

分析：先分别求出函数f（x）与g（x）的导函数，然后根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有共同的切线，建立方程组，解之即可求出a和切点坐标，最后根据导数的几何意义求出切线的斜率，再用点斜式写出化简．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=

1

2 x

，g'（x）=

a

x

(x＞0)
有已知得

x =alnx 1 2 x = a x

解得：a=

e

2

，x=e²
∴两条曲线的交点坐标为（e²，e）
切线的斜率为k=f'（e²）=

1

2e

∴切线的方程为y-e=

1

2e

（x-e²）
（Ⅱ）由条件知h（x）=

x

-alnx（x＞0），
∴h′（x）=

1

2 x

-

a

x

=

x -2a

2x

，
①当a＞0时，令h′（x）=0，解得x=4a²．
∴当0＜x＜4a²时，h′（x）＜0，
h（x）在（0，4a²）上单调递减；
当x＞4a²时，h′（x）＞0，
h（x）在（4a²，+∞）上单调递增．
∴x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的惟一极值点，且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点．
∴最小值φ（a）=h（4a²）=2a-aln（4a²）=2a[1-ln （2a）]．
②当a≤0时，h′（x）=

x -2a

2x

＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，无最小值．
故h（x）的最小值φ（a）的解析式为φ（a）=2a[1-ln （2a）]（a＞0）．
（Ⅲ）证明：由（2）知φ（a）=2a（1-ln 2-ln a），
则φ′（a）=-2ln （2a）．
令φ′（a）=0，解得a=

1

2

．
当0＜a＜

1

2

时，φ′（a）＞0，
∴φ（a）在（0，

1

2

）上单调递增；
当a＞

1

2

时，φ′（a）＜0，
∴φ（a）在（

1

2

，+∞）上单调递减．
∴φ（a）在a=

1

2

处取得极大值φ（

1

2

）=1．
∵φ（a）在（0，+∞）上有且只有一个极值点，
∴φ（

1

2

）=1也是φ（a）的最大值．
∴当a∈（0，+∞）时，总有φ（a）≤1．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，属于基础题．