Question

已知过点(-2，

3

)的直线l与圆C：x²+y²+4x=0相交的弦长为2

3

，则圆C的圆心坐标是

（-2，0）

，直线l的斜率为

±

2

．

Answer 1

分析：将圆的方程化为标准方程，可得出圆心C的坐标和半径r，根据垂径定理及勾股定理，由半径r及弦长的一半求出圆心C到直线l的距离，设出直线l的斜率为k，由直线l过（-2，

3

），表示出直线l的方程，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：将圆C的方程化为标准方程得：（x+2）²+y²=4，
可得圆心C（-2，0），半径r=2，
显然直线l的斜率存在，设斜率为k，又直线l过（-2，

3

），
故直线l方程为y-

3

=k（x+2），即kx-y+2k+

3

=0，
∵弦长为2

3

，半径r=2，
∴圆心C到直线l的距离d=

22-( 3 )2

=1，
即

3

1+k2

=1，整理得：k²=2，
解得：k=±

2

．
故答案为：（-2，0）；±

2

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，直线的点斜式方程，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．