Question

11．若点O和点F分别为椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的中心和左焦点，点P为椭圆上任一点，则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 根据椭圆的方程算出椭圆的左焦点为F（-1，0），设P（x，y），求得$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{FP}$的坐标，利用向量数量积的坐标公式建立$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=0，关于x、y的表达式，结合椭圆的方程化简，利用二次函数的性质即$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的最小值．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1中，a²=4，b²=3，可得c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1．
∵点P为椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1上的任意一点，
∴设P（x，y），则-2≤x≤2，
∵椭圆的左焦点为F（-1，0），
∴$\overrightarrow{OP}$=（x，y），$\overrightarrow{FP}$=（x+1，y），
可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=x（x+1）+y²=x²+x+3（1-$\frac{1}{4}$x²），
=$\frac{1}{4}$x²+x+3=（$\frac{1}{2}$x+1）²+2，
∵-2≤x≤2，得0≤$\frac{1}{2}$x+1≤2，
∴0≤（$\frac{1}{2}$x+1）²≤4，可得2≤（$\frac{1}{2}$x+1）²+2≤6．
即$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$最小值为2，
故选：A．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查平面向量数量积的坐标运算，二次函数图象及性质，考查转化思想与解决问题的能力，属于中档题．