Question

6．已知椭圆：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直线l：y=x+5$\sqrt{7}$，椭圆上任意点P，则点P到直线l的距离的最大值（　　）

• A． 3$\sqrt{14}$
• B． 2$\sqrt{7}$
• C． 3$\sqrt{7}$
• D． 2$\sqrt{14}$

Answer 1

分析 利用椭圆的参数方程，设出点P的坐标，再由点到直线的距离及辅助角公式，再由正弦函数的性质，即可求出P到直线l最大值．

解答 解：因为P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上任意点，
可设P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），其中θ∈[0，2π）；
因此点P到直线y=x+5$\sqrt{7}$，的距离是
d=$\frac{丨\sqrt{3}sinθ-2cosθ-5\sqrt{7}丨}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{丨\sqrt{7}sin（θ-α）-5\sqrt{7}丨}{\sqrt{2}}$，其中tanα=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴当sin（θ+α）=-1时，d取得最大值，
点P到直线l的距离的最大值$\frac{6\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{14}$．
故选A．

点评 本题主要考查了椭圆的参数方程，点到直线的距离公式及正弦函数的性质的综合应用，属于基础题．