Question

（2006•成都一模）已知△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，b＜a＜c且20cos2

A

2

=3(cot

A

4

-tan

A

4

)．求sin2A的值．

Answer 1

分析：把已知等式左边括号中的两项先利用同角三角函数间的基本关系切化弦，再通分后，根据同分母分数的减法法则计算，进而分子利用二倍角的余弦函数公式化简，分母利用二倍角的正弦函数公式化简，整理后提取2cos

A

2

，并把括号中的被减数再利用二倍角的正弦函数公式变形，由cos

A

2

不为0，得到sinA的值，再由A为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，最后把所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，将sinA和cosA的值代入即可求出值．

解答：解：由20cos2

A

2

=3(cot

A

4

-tan

A

4

)变形得：
20cos2

A

2

=3(

cos A 4

sin A 4

-

sin A 4

cos A 4

)，即20cos2

A

2

=

3(cos2 A 4 -sin2 A 4 )

sin A 4 cos A 4

，
∴20cos2

A

2

=

6cos A 2

sin A 2

，即20sin

A

2

cos2

A

2

-6cos

A

2

=0，
∴2cos

A

2

(10sin

A

2

cos

A

2

-3)=0，即cos

A

2

（5sinA-3）=0，
∵A、B、C是三角形的内角，
∴cos

A

2

≠0，
∴5sinA=3，即sinA=

3

5

，
又∵b＜a＜c，∴A为锐角，
∴cosA=

1-sin2A

=

4

5

，
∴sin2A=2sinAcosA=

24

25

．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．