Question

5．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{b}$-3$\overrightarrow{a}$）=9．
（1）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ；
（2）在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$=a，$\overrightarrow{AC}$=b，求BC边的长度．

Answer 1

分析 （1）由（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{b}$-3$\overrightarrow{a}$）=9⇒$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-3$
cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-3}{2×\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得θ．
（2）由$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，可得${\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}-2\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=4+3-2×$2×\sqrt{3}×cosθ$=13．，即可．

解答 解：（1）∵（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{b}$-3$\overrightarrow{a}$）=9．∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3{\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow{b}}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=9$⇒$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-3$
cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-3}{2×\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=150⁰
（2）∵$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$
∴${\overrightarrow{BC}}^{2}=（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）^{2}$=${\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}-2\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=4+3-2×$2×\sqrt{3}×cosθ$=13．
∴$BC=\sqrt{13}$．

点评 本题考查了向量的数量积运算，向量的夹角运算，向量的模运算，属于中档题．