Question

巳知函数，，其中.
(1)若是函数的极值点，求的值；
(2)若在区间上单调递增，求的取值范围；
(3)记，求证：.

Answer 1

（1）；（2）；（3）参考解析

试题分析：（1）由函数，所以可得，又是函数的极值点，即.
（2）因为在区间上单调递增，所以对函数求导，然后把变量分离，求函数的最值即可.
（3）由即可得到，，按的降幂写成二次三项的形式，然后再配方，即可得到.再用放缩法即可得到结论.
试题解析：(1)由，
得，
∵是函数的极值点，
∴，解得，经检验为函数的极值点，所以．
(2)∵在区间上单调递增，
∴在区间上恒成立，
∴对区间恒成立，
令，则
当时，，有，
∴的取值范围为．
(3) 解法1：
，令，
则
令，则，
显然在上单调递减，在上单调递增，
则，则，
故．
解法2： 
则表示上一点与直线上一点距离的平方．
由得，让，解得，
∴直线与的图象相切于点，
（另解：令，则，
可得在上单调递减，在上单调递增，
故，则，
直线与的图象相切于点），
点（1，0）到直线的距离为，
则．