Question

4．设f（x）=|x-a|，（a∈R）．
（Ⅰ）当-2≤x≤3时，f（x）≤4成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x-a）-f（x+a）≤2a-1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当-2≤x≤3时，f（x）≤4成立，可得x-4≤a≤x+4，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）存在实数x，使得f（x-a）-f（x+a）≤2a-1成立，转化为-2|a|≤2a-1，分类讨论，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当-2≤x≤3时，f（x）≤4成立，即|x-a|≤4，
 可得-4≤x-a≤4，
∴x-4≤a≤x+4，
∵-2≤x≤3，
∴-1≤a≤2；           …（5分）
（Ⅱ）∵f（x-a）-f（x+a）≤2a-1成立，
∴-2|a|≤|x-2a|-|x|≤2|a|，
∵存在实数x，使得f（x-a）-f（x+a）≤2a-1成立，
∴-2|a|≤2a-1．
a≥0时，-2a≤2a-1，解得a≥$\frac{1}{4}$；
a＜0时，2a≤2a-1，矛盾，舍去；
综上，a≥$\frac{1}{4}$      …（10分）

点评 本题考查绝对值不等式，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．