题目内容
7．若函数f（x）=lnx+（x-b）2（b∈R）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（ ）| A． | （-∞，$\frac{3}{2}$） | B． | （-∞，$\frac{9}{4}$） | C． | （-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$） | D． | （$\frac{3}{2}$，+∞） |
分析 利用导函数得到不等式恒成立，然后求解b的范围．
解答 解：∵函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上存在单调增区间，
∴函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上存在子区间使得不等式f′（x）＞0成立．
f′（x）=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{x}$+2（x-b）]=$\frac{{2x}^{2}-2bx+1}{x}$，
设h（x）=2x2-2bx+1，则h（2）＞0或h（$\frac{1}{2}$）＞0，
即8-4b+1＞0或$\frac{1}{2}$-b+1＞0，
得b＜$\frac{9}{4}$．
故选：B．
点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数恒成立，考查转化思想，不等式的解法，考查计算能力．
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| A． | x-y-2=0 | B． | x+y-2=0 | C． | x±y-2=0 | D． | 不确定 |
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