Question

2．矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P为矩形内部一点，且AP=1．设∠PAB=θ，$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$（λ，μ∈R），则2λ+$\sqrt{3}$μ取得最大值时，角θ的值为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 可作出图形，根据题意可知λ，μ＞0，根据条件对$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$两边平方，进行数量积的运算化简，利用三角代换以及两角和与差的三角函数，从而便可得出2λ+$\sqrt{3}$μ的最大值．

解答 解：如图，依题意知，λ＞0，μ＞0；
根据条件，
1=$\overrightarrow{AP}$²=λ²$\overrightarrow{AB}$²+2λμ$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+μ²$\overrightarrow{AD}$²
=4λ²+μ²．令λ=$\frac{1}{2}cosθ$，μ=sinθ．
∴2λ+$\sqrt{3}$μ=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=2sin（θ+$\frac{π}{6}$）≤2；
∴2λ+$\sqrt{3}$μ的最大值为：2．此时θ=$\frac{π}{3}$
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，以及配方法的应用，三角代换的应用，考查转化思想以及计算能力．