Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为CD和A₁D₁的中点，那么异面直线AM与BN 所成的角是（　　）

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

Answer 1

分析：取C₁D₁的中点P，取PD₁的中点Q，连接BQ，NQ，易证得NQ∥AM，，∠BNQ即为异面直线AM与BN 所成的角，根据在△BNQ中，易求出∠ADQ为直角．

解答：解：取C₁D₁的中点P，取PD₁的中点Q，连接BQ，NQ
根据正方体的结构特征
可得AM∥A₁P，且NQ∥A₁P，
故NQ∥AM，
则∠BNQ即为异面直线AM与BN 所成的角，
∵在△BC₁Q中，BQ=

BC 12+C 1Q2

=

( 2 a)2+( 3 4 a)2

=

41

4

a
∴在△BNQ中，NQ=

( 1 2 a)2+( 1 4 a)2

=

5

4

a，
BN=

a2+a2+( 1 2 a)2

=

3

2

a，
∴BN²+NQ²=BQ²
∴∠BNQ=90°
故答案为90°．
故选A．

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中构造出两条件异面直线所成的角解答本题的关键．