Question

如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（-1）海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.

Answer 1

解：先假设沿CD方向行驶能最快截获走私船，并记截获地点为D，则构造△ABC和△BCD，利用正、余弦定理解此三角形.

设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则CD=10t海里，BD=10t海里.在△ABC中，由余弦定理，有

BC²=AB²+AC²-2AB·ACcosA

=(3-1)²+2²-2(3-1)×2×cos120°=6，

∴BC=海里.

又∵,

∴sin∠ABC=.

∴∠ABC=45°.∴B点在C点的正东方向上.

∴∠CBD=90°+30°=120°.

在△BCD中，由正弦定理，得

,

∴sin∠BCD=

∴∠BCD=30°.∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.

又在△BCD中，∠CBD=120°，∠BCD=30°，

∴∠D=30°.∴BD=BC，即10t=.

∴t=小时≈15分钟.

答：缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约15分钟.