Question

在平面直角坐标系xoy中，过定点C（p，0）作直线m与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A、B两点．
（I）设N（-p，0），求

NA

•

NB

的最小值；
（II）是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）依题意，可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：x=my+p
由

x=my+p y2=2px

?y²-2pmy-2p²=0（2分）∴

y1+y2=2pm y1•y2=-2p2

∴ NA • NB =(x1+p，y1)•(x2+p，y2)=(x1+p)(x2+p)+y1y2  =(my1+2p)(my2+2p)+y1y2=(m2+1)y1y2+2pm(y1+y2)+4p2 =2p2m2+2p2

当m=0时

NA

•

NB

的最小值为2p²．（7分）
（II）假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，AC的中点为o′，l与以AC为直径的圆
相交于P，Q，PQ中点为H，则o′H⊥PQ，o′的坐标为(

x1+p

2

，

y1

2

)．∵|o′P|=

1

2

|AC|=

1

2

(x1-p)2+y12

=

1

2

x12+p2

（9分）

∴|PH|2=|o′P|2-|o′H|2= 1 4 (x12+p2)- 1 4 (2a-x1-p)2 =(a- 1 2 p)x1+a(p-a)

∴|PQ|2=(2|PH|)2=4[(a-

1

2

p)x1+a(p-a)]（13分）
令a-

1

2

p=0得a=

1

2

p．此时|PQ|=p为定值．故满足条件的直线l存在，
其方程为x=

1

2

p（15分）